4. Задание для промежуточной аттестации обучающихся МЭБИК по дисциплине «Моделирование принятия решений в условиях риска»
Промежуточная аттестация проводится в форме экзамена. Обучающийся должен письменно ответить на один из билетов (на выбор студента) Задания 1 и привести развернутое решение 5-и задач Задания 2.
14.1. Задание 1. Экзаменационные билеты
ЧОУ ВО «Курский институт менеджмента, экономики и бизнеса»
Факультет подготовки бакалавров
УТВЕРЖДАЮ
Зав. Кафедрой ________А.В.Федоров
Протокол №____от________
Дисциплина – Моделирование принятия решений в условиях риска
Для направления подготовки 38.03.01 Экономика
Компетенции, закрепленные за дисциплиной: ОПК-3, ПК-4
Экзаменационный билет № 1 — Есть ответ на вопросы и решения задач 1, 2, 3, 12, 18 (вариант 1), можно купить:
Вопрос № 1. Принципы математического моделирования конфликтных ситуаций в условиях неопределенности и риска. Игра как математическая модель.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица, матрица рисков. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: критерий минимаксного риска Сэвиджа.
Задача.
Для покупки готовых решений и ответов воспользуйтесь платежной формой:
ВНИМАНИЕ! В течение 5-10 минут после оплаты товар в прикреплённом файле высылается на электронный адрес, указанный Вами в платёжной форме. Если Вы по каким-либо причинам не получили оплаченный товар, свяжитесь с нами с 10.30 до 19.00 по московскому времени по Тел./WhatsApp/Viber +7(906)657-69-44, укажите артикул товара и приблизительное время оплаты.
Экзаменационный билет № 2
Вопрос №1. Игра как математическая модель, игроки и их цели, степень антагонизма, неопределенность как отсутствие информации, риск как упущенная выгода, оптимальная программа действий.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.
Задача.
Экзаменационный билет № 3
Вопрос № 1. Стратегические игры, стратегии как программы действий, выигрыш как численное выражение цели, матрицы выигрышей, биматричные игры, оптимальный выигрыш, оптимальные стратегии.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: максимаксный критерий, максиминный критерий Вальда.
Задача.
Экзаменационный билет № 4
Вопрос №1. Игра с нулевой суммой, крайняя степень антагонизма, игрок и конкурент, платежная матрица. Принцип получения гарантированного результата в наихудших условиях.
Вопрос №2. Игра с природой, нулевая степень антагонизма, игрок и природа, состояния природы и оптимальная стратегия игрока, платежная матрица, матрица рисков, распределение вероятностей состояний природы.
Задача.
Экзаменационный билет № 5
Вопрос № 1. Игра с нулевой суммой. Статистический подход, чистые стратегии, частота чистых стратегий, смешанные стратегии. Средний ожидаемый выигрыш и проигрыш, нижняя и верхняя цена игры. Критерий оптимальности смешанной стратегии.
Вопрос №2. Игра с природой. Статистический подход в играх с природой, условный средний ожидаемый выигрыш стратегии, риск как среднеквадратичное отклонение условного выигрыша. Статистический двухпараметрический критерий максимального ожидаемого выигрыша и минимального среднеквадратичного риска.
Задача.
Экзаменационный билет № 6
Вопрос №1. Игра с нулевой суммой. Построение эквивалентной пары двойственных задач линейного программирования, построение эквивалентной платежной матрицы.
Вопрос №2. Игра с природой, распределение вероятностей состояний природы. Статистический двухпараметрический критерий максимального ожидаемого выигрыша и минимального среднеквадратичного риска. Построение множества оптимальности с учетом ожидаемого выигрыша и среднеквадратичного риска, принцип оптимальности по Парето.
Задача.
Экзаменационный билет № 7 — Есть ответ на вопросы и решения задач 1, 2, 3, 12, 18 (вариант 1), можно купить:
Вопрос № 1. Игра с нулевой суммой. Статистический подход, критерий оптимальности смешанной стратегии. Основная теорема теории игр.
Вопрос №2. Игра с природой, распределение вероятностей состояний природы. Статистический подход в играх с природой, условный средний ожидаемый выигрыш стратегии, условный средний ожидаемый риск стратегии.
Задача.
Для покупки готовых решений и ответов воспользуйтесь платежной формой:
Экзаменационный билет № 8
Вопрос №1. Игра с нулевой суммой, критерий оптимальности смешанной стратегии. Нахождение оптимальной смешанной стратегии как оптимального решения задачи линейного программирования.
Вопрос №2. Игра с природой, распределение вероятностей состояний природы. Статистические критерии оптимальности стратегии игрока при наличии распределения вероятностей состояний природы: критерий максимального ожидаемого выигрыша, критерий минимального ожидаемого риска; эквивалентность критериев.
Задача.
Экзаменационный билет № 9
Вопрос № 1. Игра с нулевой суммой, критерий оптимальности смешанной стратегии. Нахождение оптимальной смешанной стратегии как решения системы линейных алгебраических уравнений.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.
Задача.
Экзаменационный билет № 10
Вопрос №1. Игра с нулевой суммой, критерий оптимальности смешанной стратегии. Графический способ решения игры 2 на 2.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица, матрица рисков. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: критерий минимаксного риска Сэвиджа.
Задача.
Экзаменационный билет № 11
Вопрос № 1. Игра с седловой точкой как вырожденный случай игры с нулевой суммой, седловая точка платежной матрицы, оптимальные чистые стратегии.
Вопрос №2. Игра с природой, нулевая степень антагонизма, игрок и природа, состояния природы и оптимальная стратегия игрока, платежная матрица, матрица рисков, распределение вероятностей состояний природы.
Задача.
Экзаменационный билет № 12
Вопрос №1. Игра с нулевой суммой как стратегическая игра. Отношения между стратегиями. Мажорирование чистых стратегий, мажорирование смешанных тратегий. Множество оптимальности, принцип оптимальности по Парето. Построение эквивалентной редуцированной игры исключением мажорируемых стратегий.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: максимаксный критерий, максиминный критерий Вальда.
Задача.
Экзаменационный билет № 13
Вопрос № 1. Игра с нулевой суммой. Построение эквивалентной пары двойственных задач линейного программирования, построение эквивалентной платежной матрицы.
Вопрос №2. Игра с природой, распределение вероятностей состояний природы. Статистический двухпараметрический критерий максимального ожидаемого выигрыша и минимального среднеквадратичного риска. Построение множества оптимальности с учетом ожидаемого выигрыша и среднеквадратичного риска, принцип оптимальности по Парето.
Задача.
Экзаменационный билет № 14
Вопрос №1. Игра с нулевой суммой. Статистический подход, чистые стратегии, частота чистых стратегий, смешанные стратегии. Средний ожидаемый выигрыш и проигрыш, нижняя и верхняя цена игры. Критерий оптимальности смешанной стратегии.
Вопрос №2. Игра с природой. Статистический подход в играх с природой, условный средний ожидаемый выигрыш стратегии, риск как среднеквадратичное отклонение условного выигрыша. Статистический двухпараметрический критерий максимального ожидаемого выигрыша и минимального среднеквадратичного риска.
Задача.
Экзаменационный билет № 15
Вопрос № 1. Игра с нулевой суммой, критерий оптимальности смешанной стратегии. Нахождение оптимальной смешанной стратегии как оптимального решения задачи линейного программирования.)
Вопрос №2. Игра с природой, распределение вероятностей состояний природы. Статистические критерии оптимальности стратегии игрока при наличии распределения вероятностей состояний природы: критерий максимального ожидаемого выигрыша, критерий минимального ожидаемого риска; эквивалентность критериев.
Задача.
Экзаменационный билет № 16
Вопрос №1. Игра с нулевой суммой. Статистический подход, критерий оптимальности смешанной стратегии. Основная теорема теории игр.
Вопрос №2. Игра с природой, распределение вероятностей состояний природы. Статистический подход в играх с природой, условный средний ожидаемый выигрыш стратегии, условный средний ожидаемый риск стратегии.
Задача.
Экзаменационный билет № 17
Вопрос № 1. Игра с нулевой суммой, критерий оптимальности смешанной стратегии. Графический способ решения игры 2 на 2.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица, матрица рисков. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: критерий минимаксного риска Сэвиджа.
Задача.
Экзаменационный билет № 18
Вопрос №1. Игра с нулевой суммой, критерий оптимальности смешанной стратегии. Нахождение оптимальной смешанной стратегии как решения системы линейных алгебраических уравнений.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: критерий пессимизма-оптимизма Гурвица.
Задача.
Экзаменационный билет № 19
Вопрос № 1. Игра с нулевой суммой как стратегическая игра. Отношения между стратегиями. Мажорирование чистых стратегий, мажорирование смешанных тратегий. Множество оптимальности, принцип оптимальности по Парето. Построение эквивалентной редуцированной игры исключением мажорируемых стратегий.
Вопрос №2. Игра с природой, платежная матрица. Критерии оптимальности стратегии игрока при отсутствии информации о состоянии природы: максимаксный критерий, максиминный критерий Вальда.
Задача.
Экзаменационный билет № 20
Вопрос №1. Игра с седловой точкой как вырожденный случай игры с нулевой суммой, седловая точка платежной матрицы, оптимальные чистые стратегии.
Вопрос №2. Игра с природой, нулевая степень антагонизма, игрок и природа, состояния природы и оптимальная стратегия игрока, платежная матрица, матрица рисков, распределение вероятностей состояний природы.
Задача.
14.2. Задание 2. Экзаменационные задачи
Задача 1. Решить антагонистическую игру с платёжной матрицей:
Задача 2. В зависимости от параметров внешней среды состояние объекта хозяйствования характеризуется 3 состояниями. Лицо принимающее решение осуществляет выбор управляющей стратегии. Возможны следующие комбинации:
№
стратегии Состояния внешней среды
1 2 3
1 10 8 5
2 16 7 -1
3 30 6 -10
Решение принимается 1 раз. Вероятности возникновения событий «природы» неизвестны. Найти стратегию, минимизирующую риск.
Задача 3. Найти смешанную стратегию «осторожного игрока» для игрока 1 в биматричной игре:
Задача 4. Найти смешанную стратегию «угрозы» для игрока 2 в биматричной игре:
В=
Задача 4. (Продавцы мороженого)
Два конкурирующих продавца мороженого независимо выбирают места для своих ларьков на улице длиной 2 км. Цена у обоих продавцов составляет $0.30 за порцию. Потребители равномерно распределены вдоль всей улицы. Прохождение 1 км пешком эквивалентно затрате $0.20. Покупатель готов заплатить за мороженое $1.00. Если расстояния до ларьков одинаковы (в частности, если ларьки находятся в одной точке), то место покупки выбирается случайно и равновероятно. Найти все равновесные расположения ларьков (в чистых стратегиях).
Задача 5 (Государство и налогоплательщик)
Рассмотрим игру, в которой участвуют государство и налогоплательщик. Доход налогоплательщика равен 5 единицам. Государство выбирает уровень подоходного налога: высокий (В=40%) либо низкий (Н=20%). Налогоплательщик может честно заплатить налог, а может уклониться от его уплаты. Если он решает не платить налоги, то с вероятностью 50% налоговые органы обнаруживают это и заставляют его заплатить весь налог и дополнительно внести в казну штраф в размере 1 единица. Выигрыш государства – это ожидаемый объем налоговых поступлений, а выигрыш налогоплательщика – его ожидаемый доход (после уплаты всех налогов и штрафов). Постройте матрицу игры и найдите равновесие Нэша в чистых стратегиях. А каково будет равновесие Нэша, если вероятность поимки составит 75%?
Задача 6 (Выборы председателя)
Комитет, состоящий из трех членов {А, В, С}, выбирает председателя. Голосуют по очереди: Сначала А сообщает вслух, кого из {А, В, С} он поддерживает, затем то же самое делает В, и наконец, С. Участник А старше всех, поэтому его мнение уважают, и если все проголосовали за разных кандидатов, то у А решающий голос (то есть принимается решение, предложенное А). В остальных случаях решение принимается простым большинством.
Предпочтения участников заданы следующим образом:
( каждый в первую очередь хочет видеть на месте председателя себя, но в отношении других вкусы расходятся).
За кого проголосует А? Кто станет председателем? Аргументируйте свой ответ.
Задача 11. Какие стратегии останутся при последовательном исключении строго доминируемых стратегий в данной игре в нормальной форме? Каковы равновесия Нэша (в чистых стратегиях) в приведённой ниже игре?
L C R
T 2, 0 1, 1 4, 2
M 3, 4 1, 2 2, 3
B 1, 3 0, 2 3, 0
Задача 12. Найдите равновесие Нэша в смешанных стратегиях в следующей игре:
L R
T 2, 1 0, 2
B 1, 2 3, 0
Задача 13. Рассмотрим следующую игру в развернутой форме.
Приведите нормальную форму этой игры.
Задача 14. Рассмотрим следующую игру в развернутой форме.
а) Проведите обратную индукцию и сформулируйте предположения о рациональности и информированности игроков, соответствующие каждому шагу этого процесса.
б) Выпишите соответствующую игру в нормальной форме.
в) Проведите процесс последовательного исключения доминируемых стратегий.
г) Проведите процесс последовательного исключения строгодоминируемых стратегий с учетом возможности применения смешанных стратегий.
Задача 15. Доказать, что .
Задача 16 Найти седловую точку функции K(x, y) = 8(4xy2 -2×2 -y), определенной на множествах X = Y = [0, 1]
Задача 17. Два игрока размещают некоторый объект на плоскости, то есть выбирают его координаты (x,y). Игрок 1 находится в точке (x1,y1), а игрок 2 — в точке (x2,y2). Игрок 1 выбирает координату x, а игрок 2 — координату y. Каждый стремиться, чтобы объект находился как можно ближе к нему. Покажите, что в этой игре у каждого игрока есть строго доминирующая стратегия.
Задача 18. Найти оптимальные стратегии и цену игры, заданной платежной матрицей. При этом с 1-го по 5-й вариант выполнения работы принять платежную матрицу вида
, с 6-го по 10-й вариант – вида .
Задача 19. Торговая фирма разработала несколько вариантов плана продаж товаров на предстоящей ярмарке с учетом конъюнктуры рынка и спроса покупателей. Получающиеся от их возможных сочетаний показатели дохода представлены в таблице.
1) Определить оптимальную стратегию фирмы в продаже товаров на ярмарке.
2) Если существует риск (вероятность реализации плана П1 – b%, П2 – c%, П3 –d%), то какую стратегию фирме следует считать оптимальной?
Задача 20. Фирма производит пользующиеся спросом детские платья и костюмы, реализация которых зависит от состояния погоды. Затраты фирмы в течение апреля-мая на единицу продукции составят: платья – Аден. ед., костюмы – Вден. ед. Цена реализации составит Сден. ед. и Dден. ед. соответственно.
По данным наблюдений за несколько предыдущих лет, фирма может реализовать в условиях теплой погоды Е шт. платьев и K шт. костюмов, при прохладной погоде – М шт. платьев и Nшт. костюмов.
В связи с возможными изменениями погоды определить стратегию фирмы в выпуске продукции, обеспечивающую ей максимальный доход.
Задачу 20 решить графическим методом и с использованием критериев игр с природой, приняв степень оптимизма , указанную в таблице.